1.函数的零点 (1)一般地，如果函数在实数a处的值为0，即，则a叫做这个函数的零点． (2)对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数的零点具下列性质：

①当它通过零点（不是偶次零点）时函数值符号改变；

②相邻两个零点之间的所有的函数值保持符号不变。

（3）函数零点的性质是研究方程根的分布问题的基础，是通过对二次函数的零点的研究而推出的，是由特殊到一般的思想方法。

2.二分法 (1) 已知函数在区间[a，b]上是连续的，且，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点的近似值的方法，叫做二分法。

(2)二分法定义的基础，是函数零点的性质；

二分法定义本身给出了求函数零点近似值的步骤．只要按步就班地做下去，就能求出给定精确度的函数零点． （3）二分法求函数零点的近似值的步骤，渗透了算法思想与程序化意识．此步骤本身就是一个解题程序。

这种程序化思想在计算机上得到了广泛的应用． 3.常用的几类函数模型 (1)一次函数模型：；

(2)反比例函数模型：；

(3)二次函数模型：；

(4)指数函数模型：；

(5)对数函数模型：；

(6)幂函数模型：。 （二）图象变换 1.作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法。

掌握这两种方法是本节的重点．运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点． 作函数图象的步骤：

①确定函数的定义域；

②化简函数的解析式；

③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；

④描点连线，画出函数的图象。 2．所谓图象的几何变换法，就是把常见函数图象与图象几何变换的知识结合起来而获得函数图象的一种重要的途径。 函数图象的变换包括四种：平移变换、伸缩变换、对称变换以及绝对值变换。 1.平移变换 由y=f(x)→y=f(x+a)+b，分为横向平移与纵向平移。

（1）横向平移：由y=f(x)→y=f(x+a) 把y=f(x)的图象上各点沿x轴平移|a|个单位；当a＞0时，向左平移；当a＜0时向右平移。

（2）纵向平移：由y=f(x)→y=f(x)+b 把y=f(x)的图象上各点沿y轴平移|b|个单位；当b＞0时，向上移动；当b＜0时，向下移动。 2.伸缩变换 由y=f(x)→y=Af(wx) (A＞0,w＞0) 分为横向与纵向伸缩，其变换过程可表示为： y=f(x) y=Af(wx) 3.对称变换 包括关于x轴，y轴，原点，y=x直线对称。

（1）关于x轴对称：y=f(x)与y=-f(x)，其解析式的特征是：用-y代y，解析式能由一个变成另一个。

（2）关于y轴对称：y=f(x)与y=f(-x)，其解析式的特征是：用-x代x，解析式能一个变成另一个。

（3）关于原点对称：y=f(x)与y=-f(-x)，其解析式的特征是：用-x，-y分别代x，y，解析式能由一个变成另一个。 （4）关于直线y=x直线对称：y=f(x)与y=f-1(x)，其解析式的特征是：用x代y，用y代x，解析式能由一个变成另一个。 4.绝对值变换有两种：y=|f(x)|与y=f(|x|) （1）由y=f(x)→y=|f(x)| 由绝对值的意义有： 因此，几何变换的程序可以设计如下： ①留住x轴上方的图象 ②翻折：将x轴下方的图象沿x轴对称上去 ③去掉x轴下方的图象 （2）由y=f(x)→y=f(|x|) 由绝对值的意义有： 因此，可将这种几何变换设计为： ① 留住y轴右侧的图象 ② 去掉y轴左侧的图象 ③ 翻折：将y轴右侧的图象沿y轴对称到y轴左侧。 2.幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的 图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； (3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象 在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 3.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象； (2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成； 若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 1. 平移变换：2. 对称变换： ①整体对称：②局部对称：3. 伸缩变换：4. 互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。 下面我们研究两种变换是如何进行的： （1） （2） (1)先伸缩再平移：y=sinx图像上每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得到y=sin2x的图像，再把y=sin2x的图像向左平移个单位得到 (2)先平移再伸缩：把y=sinx的图像向左平移个单位得到的图像，再把图像上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得到的图像。 （1） （2） (1)先对称再平移：y=f(x)的图像关于y轴对称后得到y=f(-x)的图像，再把f(-x)的图像向右平移1个单位得到y=f(-x+1)的图像； (2)先平移再对称：把y=f(x)的图像向左平移1个单位得到y=f(x+1)的图像，再把y=f(x+1)的图像关于y轴对称后得到y=f(-x+1)的图像。 一些抽象函数关系是所表示的函数性质： 一个函数本身具有的性质 两个函数具有的性质 f(1+x)=f(1-x) y=f(1+x)与y=f(1-x) 这个函数的图像关于直线x=1对称 这两个函数的图像关于y轴对称 f(x+1)=f(x-1) y=f(x+1)与y=f(x-1) 这个函数是周期为2的周期函数 这两个函数的图像相差两个单位(平移) f(x-1)=f(1-x) y=f(x-1)与y=f(1-x) 这个函数是偶函数 这两个函数的图像关于直线x=1对称